Cálculo diferencial
Que es?
Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando
cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del
análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción
estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
Desde
el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un
cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en
términos matemáticos, una tasa de
cambio. Una derivada es el cálculo de las
pendientes instantáneas de
en cada punto
. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por
punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus
máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se
llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
Surgimiento
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
- Encontrar la tangente a una curva en un punto.
- Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
- Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
- Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
Aportadores:
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· Gottfried Wilhelm Leibniz.
Fue un filósofo,matemático, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII,
Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales. Su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = , así como su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales.
Sir Isacc Newton.
cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de las matemáticas, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes. En la historia del cálculo hay controversia de quién fue el inventor del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos le dan la primicia a Newton y otros a Leibniz, pero se generaliza que Newton tuvo primero las ideas y que
Leibniz las descubrió igualmente algunos años más tarde
Definición de Derivada
Las derivadas se definen
tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van
aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar
directamente la pendiente de la rectatangente de una función
porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la
función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos
el límite de las pendientes de las secantes
próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas
pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. hrepresenta
una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como
negativo. La pendiente de la recta
entre los puntos
y
es
Esta expresión es
un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es
el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se
acercan más a la tangente:
Si la derivada de f existe
en cada punto x, podemos definir la derivada de f como
la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto
que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado
una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco
intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de
modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado.
Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la
mayoría de las funciones descritas;
Diferenciación y
diferenciabilidad
La Diferenciación puede
ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro
cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.
Una función es diferenciable en
un punto
si
su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada
punto
perteneciente
al intervalo. Si una función no escontinua en f, entonces no puede
ser diferenciable en f; sin embargo, aunque una función sea
continua en F, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función
diferenciable en un punto F es continua en F, pero no toda función continua en
F es diferenciable en F (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x
= 0).
Aplicaciones
importantes del cálculo diferencial
- Recta tangente a una función en un punto
La
recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas
secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace
tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta
tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de
tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado
que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que
consideremos.
Si
conocemos la ecuación de la recta tangente Ta(x) a la función f(x) en el punto a podemos tomar Ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x)
en las proximidades del punto a. Esto quiere decir que si tomamos un punto a + h y lo evaluamos tanto
en la función como en la recta tangente, la diferencia
será despreciable
frente a h en valor absoluto si htiende a
cero. Cuanto más cerca estemos del punto a tanto más precisa
será nuestra aproximación de f(x).
Para
una función f(x) derivable localmente en el punto a, la
recta tangente a f(x) por el punto a es:
Ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a).
- Uso de las derivadas para realizar gráficos de
funciones
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a unextremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3).
Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad) tendrá valores intermedios entre los valores en los
puntos críticos de cada lado.
Generalización del cálculo diferencial
Cuando
una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la
derivada de una función con respecto a una de ellas, manteniendo las demás
variables constantes. Las derivadas parciales se representan como
(en donde
; es una 'd' redondeada conocida como
'símbolo de la derivada parcial').
El
concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es
que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en
dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean
diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte
en una transformación
lineal entre los
correspondientes espacios tangentes y la derivada de la función se convierte en un mapeo
entre los grupos
tangentes.
Para
diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución.
Para
las funciones complejas de una variable
compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple
parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real
e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función
satisface lo segundo,
pero no lo primero. Vea también Función holomórfica.
Vea
también: diferintegral. óptimo de una función real de dos variables sujeta a
restricciones
Dadas
las funciones, de valor real, y ambas con dominio, el problema consiste en
hallar los valores máximos o mínimos (valores extremos) de cuando se restringe
a tomar valores en el conjunto.
